gyldne snit

En konstruktion af snittet findes i Euklids Elementer II.11 og benyttes i IV.10-11 til at konstruere en regulær femkant. Forholdet mellem diagonalen og siden i en regulær femkant er nemlig det gyldne forhold, ligesom diagonalerne deler hinanden i dette forhold. De fem diagonaler danner i midten en ny regulær femkant, hvis diagonaler danner en ny femkant osv. Denne uendelige rekursion var med til at få pythagoræerne til at indse, at diagonalen og siden er inkommensurable eller med en moderne sprogbrug, at φ er et irrationalt tal. Det afspejles også i kædebrøksudviklingen:

\[ \phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots} } . \]

Ved udregning af kædebrøken finder man approksimanterne,

\[ 1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \dots , \]

der viser, at det gyldne snit kan tilnærmes ved forholdet mellem to successive Fibonaccital.

Navnet det gyldne snit kan spores tilbage til den tyske matematiker Martin Ohm (1792-1872) i 1835; astronomen Johannes Kepler talte om divina proportio 'det guddommelige forhold'; på græsk er navnet det yderste og mellemste forhold. Et særligt dansk ord er højdeling.

Det gyldne snit spillede en stor rolle i antikkens arkitektur og billedkunst. Det indgik undertiden i tempelarkitekturen — Parthenons facade kan indskrives i et gyldent rektangel — og i den ideale menneskefigur, som bl.a. billedhuggeren Polyklet arbejdede med; her deler navlen figurens højde i det gyldne snit. Dette snit indgår også i den femtakkede stjerne, pentagrammet, som man mener har været pythagoræernes emblem.

I renæssancen anså man proportioner, hvori det gyldne snit indgik, som udtryk for den guddommelige orden; i 1509 udgav matematikeren Luca Pacioli De Divina Proportione ('Om den guddommelige proportion'). Det gyldne snit anvendtes af malere som Piero della Francesca, Sandro Botticelli, Albrecht Dürer og Nicolas Poussin samt af arkitekter som Andrea Palladio. I 1900-tallet brugte fx Piet Mondrian, Le Corbusier og Bauhaus-designerne det gyldne snit, som ikke blot fungerer formelt æstetisk, men også ofte understreger betydningsbærende elementer i billeder, skulpturer eller bygninger.

Fibonaccitallene (talrækken 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 osv.), der som nævnt ovenfor er nært knyttet til det gyldne snit, indgår i den regelmæssigt opbyggede struktur i grankogler, solsikkeblomster og ananasfrugter, i bladstillingen hos flere planter samt i spiralkurverne i sneglehuse og nautilskaller. Talrækken har også – især indtil 1600-tallet – dannet grundlag for den typografiske udformning af bøger – bl.a. ved bogmarginernes proportionering med en smal indermargin (3), en lidt bredere overmargin (5), en endnu bredere ydermargin (8) og en meget bred undermargin (13). Endvidere til udformningen af bl.a. digte og musikalske kompositioner som fx Inger Christensens Alfabet (1981) og Pelle Gudmundsen-Holmgreens Tricolore 1 (1966, uropført 1991). Se også proportion.

• matematik i oldtidens Grækenland
• pentagon
• kædebrøk
• logaritmisk spiral