Trigonometri er en del av matematikken som handler om sammenhengen mellom vinkler og sider i trekanter, og brukes blant annet i astronomi, landmåling og statikk.
trigonometri
fra gresk trigonon (tre vinkler) og metro (måling)
Forholdstallene mellom sidene i en trekant avhenger kun av størrelsen til vinklene og ikke av størrelsen til trekanten.
De vanligste forholdstallene mellom sidekantene kalles sinus, cosinus og tangens:
\[\begin{aligned} \sin(v) &= \frac{b}{c} \\ \cos(v) &= \frac{a}{c} \\ \tan(v) &= \frac{b}{a} \end{aligned}\]
Trigonometri tar utgangspunkt i en rettvinklet trekant, som er en trekant der en av vinklene er 90 grader.
Hypotenusen er den lengste siden i en rettvinklet trekant. De to andre sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Motstående katet er den siden i trekanten som ligger på motsatt side av vinkelen, og hosliggende katet er den siden i trekanten som ligger inntil vinkelen.
Forholdet mellom to av sidene i en trekant avhenger kun av vinkelen mellom dem og ikke av størrelsen på trekanten. Hvis en side halveres og vinklene holdes uendret, må også de andre sidene halveres.
Forholdstallene mellom sidene har fått egne navn, sinus, cosinus og tangens. Dette er de trigonometriske funksjonene. Siden forholdstallene bare avhenger av vinkelen, kan vi skrive sinus, cosinus og tangens som funksjoner av vinkelen.
\[\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusen}} \]
\[\cos(v) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenusen}}\]
\[\tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}\]
Alle vinkler kan måles i enten radianer eller grader.
Sinus, cosinus og tangens av noen vinkler har eksakte verdier. Hvis en vinkel er for eksempel 30 grader, er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den korteste kateten fordi sinus til 30 grader er en halv.
| \(v\) (grader) | \(v\) (radianer) | \(\sin(v)\) | \(\cos(v)\) | \(\tan(v)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^{\circ}\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) |
| \(45^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(90^{\circ}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | - |
Før kalkulatorene ble vanlige, var eksakte verdier av trigonometriske funksjoner helt nødvendig. Selv om man i dag har kalkulatorer, er det lurt å bruke eksakte verdier når man kan, for å få helt nøyaktige resultater og unngå avrundingsfeil.
Sinus til vinkel \(v\) er den vertikale koordinaten \(b\) delt på lengden til hypotenusen, som er én:\[\sin(v) = \frac{b}{1} = b\] Derfor kan vi lese av sinusverdien på vertikalaksen.
Cosinus til vinkel \(v\) er den horisontale koordinaten \(a\) delt på lengden til hypotenusen, som er én:\[\cos(v) = \frac{a}{1} = a\] Derfor kan vi lese av cosinusverdien på vertikalaksen.
Enhetssirkelen kan brukes til å finne sinus og cosinus til alle vinkler, inkludert vinkler som er større enn 90° og vinkler som er negative.
Vinkelen i enhetssirkelen måles fra den positive horisontale aksen og mot klokken til man møter en linje som går fra origo til et punkt på enhetssirkelen. Sinus til denne vinkelen er definert som den vertikale koordinaten til punktet, og cosinus til denne vinkelen er definert som den horisontale koordinaten til punktet.
Hvis for eksempel vinkelen er \(30^{\circ}\), er den vertikale koordinaten i enhetssirkelen 0,5 og den horisontale koordinaten \(\sqrt{3}/2\). Det vil si at sinus til 30 grader er lik 0,5 og cosinus til 30 grader er lik \(\sqrt{3}/2\).
Trigonometriske identiteter er sammenhenger som kan brukes til å forenkle uttrykk.
For å forenkle utregningene defineres \(a\) = hosliggende katet, \(b\) = motstående katet og \(c\) = hypotenusen.
En av de vanligste trigonometriske identitetene er:
\[\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\]
At \(\tan(v) = \frac{\sin(v)}{\cos(v)}\) er enkelt å vise ut fra definisjonene. Forholdet mellom sinus og cosinus til en vinkel kan skrives som:
\[\frac{\sin(v)}{\cos(v)} = \frac{\;\frac{b}{c}\;}{\frac{a}{c}} = \frac{\frac{b}{c} \cdot c}{\frac{a}{c} \cdot c} = \frac{b}{a} = \tan(v)\]
Enhetsformelen er en mye brukt trigonometrisk identitet:
\[\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1\]
At \(\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1\) er enkelt å vise fra Pytagoras' læresetning:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Hele ligningen kan deles på \(c^2\) som gir:
\[\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1\]
Siden \(\cos(v) = \frac{a}{c}\) og \(\sin(v) = \frac{b}{c}\), kan ligningen skrives på formen:
\[\cos^2(v) + \sin^2(v) = 1\]
Addisjonsformler gir sinus og cosinus til en sum av to vinkler:
\[\sin(u + v) = \sin(u) \cos(v) + \sin(v) \cos(u)\]
\[\cos(u + v) = \cos(u) \cos(v) – \sin(u) \sin(v)\]
Addisjonsformlene gjør det mulig å regne ut vinkler som ellers er litt vanskelige. For eksempel kan vi finne sinus til \(75^{\circ}\) fra kjente formler fordi \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\). Dette var spesielt nyttig før kalkulatorene.
I fysikken brukes addisjonsformlene blant annet til å studere periodiske svingninger og Fourier-analyse.
Kommentarer (2)
skrev Knut A. Rosvold
svarte Andreas Tjernshaugen
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.