En sirkel er en rund form der alle punktene er like langt fra midten. I matematikk er en sirkel definert som en kurve som består av alle punkter som har lik avstand fra ett bestemt punkt. Dette punktet kalles sirkelens sentrum.
sirkel
Radius
Konstruksjon
En passer brukes til å tegne en sirkel ved å sette fast den ene enden og svinge passeren rundt.
En passer kan brukes til å tegne en sirkel ved at den ene enden holdes fast og den andre enden svinges rundt. Hvis man fester den ene enden av et tau i bakken, strammer tauet og går rundt med det, får man også en sirkel. Radiusen av sirkelen er lik lengden av tauet.
Omkrets
Det er mye i naturen som er formet som en sirkel, for eksempel konsentriske ringer som dannes når regndråper treffer vannet.
Areal
Arealet til en sirkel er lik \(\pi r^2\).
- Les mer om areal.
Av alle todimensjonale geometriske figurer (firkanter, trekanter eller ellipser) som har den samme omkretsen, er det sirkelen som har det største arealet. Hvis man har et tau med en gitt lengde og ønsker å bruke det til å lage en figur med størst mulig areal, er det altså en sirkel man må lage med tauet.
Begreper
Linjestykket BC er en korde i sirkelen. Linjen l er en sekant til sirkelen. Den skjærer sirkelen i to punkter (B og C). Linjen q er en tangent til sirkelen. Den berører sirkelen i ett punkt (D).
Selve kurven kalles periferien til sirkelen.
Korde
En korde er et rett linjestykke mellom to punkter på sirkelen. Diameteren er et rett linjestykke mellom to punkter på sirkelen som går gjennom sirkelens sentrum. Man kan si at diameteren er en korde med lengde 2r der r er sirkelens radius.
Sekant
Tangent
En tangent er en rett linje som berører sirkelen i ett punkt. Det er altså ett (og bare ett) punkt som ligger både på sirkelen og på tangenten.
Sirkelbue
En del av omkretsen på sirkelen som ligger mellom to punkter kalles en sirkelbue. Området som begrenses av sirkelbuen og den tilsvarende korden, kalles et sirkelsegment.
Sirkelsektor
En sirkelsektor (eller bare sektor) er en del av sirkelen som begrenses av to radier og sirkelbuen mellom dem.
Vinkler
Sentralvinkelen er alltid dobbelt så stor som periferivinkelen som spenner over samme sirkelbue.
Gitt en sirkelbue, altså to punkter på sirkelens periferi, er det en vinkel over buen som har toppunkt i sirkelens sentrum. En slik vinkel kalles en sentralvinkel. Over den samme buen kan man spenne en vinkel med toppunkt på selve periferien. En slik vinkel kalles en periferivinkel.
Det er en sammenheng mellom sentralvinkler og periferivinkler. I en sirkel er en sentralvinkel alltid dobbelt så stor som en periferivinkel som er spent over den samme buen. Et spesialtilfelle av denne sammenhengen er kjent som Thales setning: En periferivinkel som spenner over en diameter er alltid en rett vinkel.
Matematisk ligning
Fra Pytagoras' setning kan man uttrykke den matematiske ligningen for en sirkel ved hjelp av koordinatene til sentrum \((s,t)\) og radius \(r\). Et punkt med koordinater \((x,y)\) ligger på sirkelen hvis og bare hvis
\(r^2 = (x-s)^2+(y-t)^2\).
Ved å sette sirkelen i et koordinatsystem kan alle punkter på sirkelen uttrykkes gjennom en matematisk ligning. Sirkelen har radius \(r\) og sentrum i punktet med koordinatene \((s,t)\). Punktene på sirkelen er alle punkter med koordinater \((x,y)\) som ligger i en avstand \(r\) fra sentrum. Sirkelen kan da beskrives som de punktene som tilfredsstiller følgende andregradsligning:
\(r^2 = (x-s)^2+(y-t)^2\)
Denne ligningen følger av Pytagoras' setning ved å legge inn en rettvinklet trekant i sirkelen, slik at hypotenusen er en radius, og katetene er parallelle med koordinataksene.
Med samme begrunnelse kan vi uttrykke sirkelen og sirkelens indre ved ulikheten:
\(r^2\geq (x-s)^2+(y-t)^2\)
Sirkel og mangekant
En regulær 6-kant, en 12-kant og en 24-kant. Det er vanskelig å se at den siste figuren egentlig er en mangekant og ikke en sirkel.
Mangekanter er dannet av linjestykker («kanter») som møtes i hjørner, mens en sirkel har hverken kanter eller hjørner. Jo flere hjørner en mangekant har, desto rundere er de, og desto mer ligner de en sirkel. I det gamle Egypt brukte man mangekanter for å finne tilnærmede verdier for omkretsen og arealet til en sirkel.
Hvis man ser for seg at antall hjørner blir større og større, og går mot uendelig, går mangekanten over til å være en sirkel. Man kan si at en sirkel er en regulær mangekant med uendelig mange hjørner.
Historikk
Sirkelen brukes ofte som symbol på evighet og på noe som gjentar seg. Sirkelen brukes ofte i kunst og i smykker, for eksempel som symbol på evig kjærlighet. Sirkelformen er også en viktig del av mange mekaniske innretninger, som tannhjul i klokker eller remskiver i bilmotorer.
Selv om en sirkel ser veldig enkel ut, er formen matematisk sett ganske kompleks. I det gamle Egypt klarte man ikke å beregne areal og omkrets til en sirkel og måtte se seg fornøyde med tilnærminger, ved bruk av mangekanter. Et av problemene var at de bare brukte brøker, og for å beregne areal og omkrets trenger man tallet pi, som er et irrasjonalt tall og ikke kan uttrykkes som en brøk.
Matematikere i den greske antikken utforsket mange egenskaper ved sirkelen. Den fikk en presis matematisk definisjon av den greske matematikeren Euklid i hans hovedverk Elementer. Verket ble et grunnlag for videre utvikling innen geometri og matematikk generelt. I Elementer blir mange resultater om sirkelen utforsket og bevist, blant annet sammenhengen mellom sentralvinkler og periferivinkler og Thales setning.
- Les mer om gresk matematikk.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.